经典题型库

题里同时出现「半径」和「弦长」，九成走垂径定理：作弦心距，构造 r² = d² + (半弦)² 的直角三角形。

证弦相等或弧相等，首选转化成证圆心角相等（或弧相等）——「等对等」三件套：圆心角、弧、弦，一个相等全相等。

求角先看顶点：顶点在圆心是圆心角，在圆上是圆周角。两者对同一条弧时，圆周角 = 圆心角 ÷ 2。

一切位置关系都是 d 与 r 的比大小：点用 OP，直线用圆心到直线的距离 d。题目给位置关系，就是给不等式。

看到「拱桥 / 管道 / 水面宽 + 拱高」，直接套反解公式 r = (半跨² + 拱高²) / (2 × 拱高)，再按需算水位变化后的宽度。

题里出现「直径 + 圆上一点」，反射动作：连出直径所对的圆周角，得到 90°，然后勾股或相似随取随用。

证切线只有两个套路：直线与圆已有公共点 → 连半径证垂直；没有公共点 → 过圆心作垂线证 d = r。看题面有没有「交圆于」三个字来选。

从圆外一点引两条切线：切线长相等、连线平分夹角、图形轴对称。处理时「取一半」，一个 30°/45°/60° 直角三角形就解决。

阴影面积 = 规则图形的加减。旋转扫过问题：线段扫过面积 = 两端点轨迹扇形之差（同圆心同角度）。

圆锥侧面展开 = 扇形：扇形半径 = 母线 l，扇形弧长 = 底面周长 2πr。所有量都从这两句翻译出来。