弧、弦与圆心角
讲解
圆周长是 2πr，对应整圈 360°。所以圆心角转 n°，弧就占圆周的 n/360——弧长公式（本章最后一节）就是从这来的。「1° 圆心角对 1° 弧」是整个圆的度量体系的起点。
「等对等」来自旋转对称：两个相等的圆心角，绕圆心旋转能完全重合，弧跟着重合，弦也跟着重合。用下面的实验台感受一下：改变圆心角，看弧和弦怎么同步变——
上面的实验台里，蓝色加粗弧对的圆心角是 ∠AOB。改变它，弦 AB 的长度同步变化；圆心角相同时，弧等、弦等。绿色角先按下不表——它是下一节的主角（剧透：它恒等于圆心角的一半）。
- 证弧相等 / 证弦相等 → 统一转化成证圆心角相等
- 等分圆 n 份 = 每份圆心角 360°/n
- 同圆中等弦对等弧，等弧对等弦（注意「同圆或等圆」这个前提）
现实里能做什么
齿轮与表盘：等分圆 = 等分圆心角
齿轮要啮合顺滑，每个齿必须严格等距——工程师做的是把 360° 除以齿数，再按圆心角定位每个齿。钟表盘 12 个刻度，每格 30°；表针每分钟转 6°。把圆等分成 n 份，从来不是「等分周长」，而是「等分圆心角」——这条思路现在你已经有了。
知识要点
- 圆心角：顶点在圆心的角；1° 圆心角对 1° 弧
- 同圆或等圆中：圆心角等 ⟺ 弧等 ⟺ 弦等
- 把圆 n 等分的本质是等分圆心角（每份 360°/n）
- 弦心距相等的弦也相等（垂径定理推论）
典型例题（点击展开题解）
例 1⊙O 的半径为 6，圆心角 ∠AOB = 120°。求弦 AB 的长（保留到…
⊙O 的半径为 6，圆心角 ∠AOB = 120°。求弦 AB 的长（保留到 0.1）与弧 AB 的长。
- 过 O 作 OM ⊥ AB。等腰三角形 OAB（OA = OB = 6）中，三线合一：OM 平分 ∠AOB，∠AOM = 60°。
- 直角三角形 OMA 中，∠A = 30°，AM = OA·cos30°：AM = 6 × (√3/2) = 3√3 ≈ 5.2
- 垂径定理：AB = 2AM = 6√3 ≈ 10.4。
- 弧长按 120/360 = 1/3 比例切整圆：l = (120/360) × 2π × 6 = 4π ≈ 12.6
弦 AB = 6√3 ≈ 10.4，弧 AB = 4π ≈ 12.6。等腰 + 三线合一 + 比例切圆，三件套齐活。