垂径定理

九年级上册 · 人教版 · 第二十四章 · 知识点 03 / 8

讲解

把圆沿「过圆心且垂直于弦的直线」对折：弦的两个端点正好重合，弧也重合——所以这条直径既平分弦，又平分弧。这就是垂径定理，它是圆的对称性最直接的应用。

光会背定理没用，关键是抓住那条藏在图里的直角三角形：半径、弦心距、半弦。拖动弦心距 d，看弦长和拱高怎么变：

你刚才验证的就是 r² = d² + (半弦)²：d = 3、r = 5 时半弦是 4（3-4-5 勾股数组！）。注意两个极端：d = 0 时弦最长（是直径，半弦 = r）；d → r 时弦缩成一个点。拱高 = r − d，从弦的中点量到弧顶。

解题时，画图第一步永远是：连半径、作弦心距，构造那个直角三角形。已知三个量中的任意两个，第四个必定能用勾股算出来。

从图纸算出桥拱，而不是切开去量

已知赵州桥式圆弧拱桥的跨度（弦长）和拱高，就能反推出圆弧的半径——这是造桥前的必要计算，方法就是垂径定理加勾股。油罐车横截面里液面宽度、隧道断面的净空，全是同一个直角三角形在算。先算出来再造，这是工程和「凭感觉」的分界线。

例 1⊙O 的半径为 5，弦 AB = 8。求圆心 O 到弦 AB 的距离。

⊙O 的半径为 5，弦 AB = 8。求圆心 O 到弦 AB 的距离。

圆心到弦的距离为 3。套路：作弦心距 → 半弦 = 弦长一半 → 勾股。3、4、5 恰好是勾股数组。

例 2一座圆弧形拱桥，跨度（水面处弦长）20 m，拱高 4 m。求桥拱所在圆的半径…

一座圆弧形拱桥，跨度（水面处弦长）20 m，拱高 4 m。求桥拱所在圆的半径，以及水位下降 1 m 后可通行船只的宽度（保留到 0.1 m）。

设圆心 O，弦 AB = 20（跨度），拱顶 C。拱高 CM = 4，垂径定理给出 M 是 AB 中点：AM = 10。
设半径 r，则 OM = r − 4。在直角三角形 OMA 中：
r² = 10² + (r − 4)²
展开：r² = 100 + r² − 8r + 16，解得：
8r = 116，r = 14.5 (m)
水位下降 1 m，拱高变 5，即弦所在位置到圆心距离 d = 14.5 − 5 = 9.5。半弦：
√(14.5² − 9.5²) = √120 = 2√30 ≈ 10.95
可通行宽度 = 2 × 10.95 ≈ 21.9 m。水位下降，弦远离圆心反而更宽——和实验台里 d 变小弦变短对照着理解。

半径 14.5 m；水位下降 1 m 后可通行约 21.9 m。拱桥求半径的通用公式：r = (半跨² + 拱高²) / (2 × 拱高)。