拱桥 / 管道截面：由跨度拱高反解半径
题面信号
看到这些字眼，先把这类题从脑子里调出来——认题比解题快，才能不慌。
拱桥
拱高
跨度
管道
水面宽
隧道
逆向解读：这题由哪些知识点拼成
从题目倒着看，它其实只是几个基础动作按顺序拼起来。认清这条链，下次遇到同类题就知道从哪一环切入。
起点是「圆的概念与确定圆」——拿到同类题，第一步就去那里想。
解题路线（固定动作，照做就行）
- 画图：弦 = 跨度，拱高 = 弦中点到弧顶
- 设半径 r，弦心距 d = r − 拱高
- 勾股列方程 r² = (半跨)² + (r − 拱高)²，解出 r
- 问水位/净空变化时，改 d 重算半弦，宽度 = 2 × 半弦
完整解答
完整解答圆弧形拱桥跨度 20 m，拱高 4 m，求桥拱半径；水位上涨 1 m（拱高变 3…
圆弧形拱桥跨度 20 m，拱高 4 m，求桥拱半径；水位上涨 1 m（拱高变 3 m）后水面宽多少？
- 设拱所在圆半径 r，弦 AB = 20（跨度），拱顶 C，CM = 4。垂径定理：M 是 AB 中点，AM = 10。OM = r − 4
- 直角三角形 OMA 中列勾股方程：r² = 10² + (r − 4)²
- 展开消去 r²：8r = 116 → r = 14.5 (m)
- 水位上涨 1 m 后拱高变 3，弦心距 d = 14.5 − 3 = 11.5，半弦：√(14.5² − 11.5²) = √78 ≈ 8.83
- 水面宽 = 2 × 8.83 ≈ 17.7 m。水位涨了，可通行宽度变小——方向和直觉一致，数值靠算。
见上。万能公式：r = (半跨² + 拱高²) / (2 × 拱高)。
卡壳常卡在这
易错点 方程展开后 r² 两边消掉，剩一次方程 8r = 116——很多学生看到 r² 就慌。另外公式分母是 2 × 拱高，代错数字全盘皆输。