弧长、扇形面积与圆锥
讲解
不用背这两个公式，用比例就能现场推出来：整圆 360° 对应周长 2πr、面积 πr²；n° 的扇形占整圆的 n/360，所以弧长 = (n/360)·2πr = nπr/180，面积 = (n/360)·πr² = nπr²/360。而且 S = ½lr——把扇形看成「底为弧、高为 r」的曲边三角形，公式直接统一。
拖动 n 和 r 验证：n 翻倍，弧长和面积都翻倍；r 翻倍，弧长翻倍但面积翻四倍（r 是平方项）。考试爱考的「阴影面积」九成是「大扇形 − 小扇形」或「扇形 − 三角形」，本质都是按比例切圆。
圆锥是这套比例思想的立体应用：侧面展开成扇形后，扇形的两条半径是圆锥的母线，弧长必须等于底面圆的周长。用 2πr = nπl/180 反解圆心角 n = 360r/l（r 是底面半径、l 是母线）——下面两道例题把正面反面都走一遍。
- l = nπr/180，S = nπr²/360，S = ½lr（记住比例来源，不必死背）
- 弓形 = 扇形 − 三角形
- 圆锥展开：扇形半径 = 母线 l，弧长 = 底面周长 2πr，圆心角 n = 360r/l
现实里能做什么
跑道划线与圣诞帽下料
体育场弯道的每条分道线差多少、披萨按角度切成八块每块多大，都是弧长公式。更妙的用法是「展开」：做一顶圆锥形圣诞帽，先把立体问题摊平——帽子侧面展开是扇形，扇形弧长必须正好等于帽子底部周长，尺寸全靠 l = nπr/180 对上。包装、钣金、服装排料，凡「平面围成立体」都走这条桥。
知识要点
- l = nπr/180，S = nπr²/360，且 S = ½lr
- 比例思想：n° 扇形占整圆的 n/360
- 弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积（或 + ，看情况）
- 圆锥侧面展开：扇形半径 = 母线，扇形弧长 = 底面周长
典型例题（点击展开题解）
例 1⊙O 半径为 6，扇形圆心角 90°。求弧长与扇形面积；再求该扇形（弓形）去…
⊙O 半径为 6，扇形圆心角 90°。求弧长与扇形面积；再求该扇形（弓形）去掉以 OA、OB 为直角边的等腰直角三角形后剩余弓形的面积。
- 弧长：l = (90/180) × π × 6 = 3π
- 扇形面积：S = (90/360) × π × 6² = 9π
- 等腰直角三角形 OAB 两直角边为 r = 6：S△ = ½ × 6 × 6 = 18
- 弓形 = 扇形 − 三角形：S弓 = 9π − 18 ≈ 10.3
弧长 3π，扇形面积 9π，弓形面积 9π − 18。「扇形 − 三角形」是求弓形面积的标准动作。
例 2圆锥的底面半径为 3，母线长为 5。求它的侧面积、全面积，以及侧面展开图（扇…
圆锥的底面半径为 3，母线长为 5。求它的侧面积、全面积，以及侧面展开图（扇形）的圆心角。
- 侧面展开是扇形：扇形半径 = 母线 l = 5，扇形弧长 = 底面周长 = 2π × 3 = 6π。
- 侧面积 = 扇形面积 = ½ × 弧长 × 半径：S侧 = ½ × 6π × 5 = 15π
- 全面积加底面：S全 = 15π + π × 3² = 24π
- 圆心角由弧长反解：6π = (n/180) × π × 5 → n = 216°
侧面积 15π，全面积 24π，展开图圆心角 216°。速记：S侧 = πrl，n = 360 × (r ÷ l)。展开图半径是母线，不是底面半径——最容易错的地方。
例 3Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4。把 △ABC…
Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4。把 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°。求斜边 AB 扫过的面积与线段 BC 扫过的面积。
- 关键一步：认清每个端点的旋转半径。A 到旋转中心 C 的距离是 CA = 3，B 到 C 的距离是 CB = 4。斜边 AB = 5 不是任何点的旋转半径——它只是连接两个动点的线段。
- 线段扫过的区域 = 两端点轨迹扇形之间的部分：外缘是 B 走出的大扇形（半径 4、圆心角 90°），内缘是 A 走出的小扇形（半径 3、90°）。
- 线段 AB 扫过面积 = 大扇形 − 小扇形：S = (90/360) × π × (4² − 3²) = 7π/4
- 线段 BC 扫过的就是半径 4、90° 的扇形：S = (90/360) × π × 4² = 4π
斜边扫过面积 7π/4。关键：分清每个端点的旋转半径（CA = 3、CB = 4），扫过区域 = 大扇形 − 小扇形（同圆心同角度）。