点与圆的位置关系
讲解
圆的定义「到圆心距离等于 r 的点」直接给出了答案：距离比 r 小的，自然在圆里面；比 r 大的自然在外面。就是这么朴素，但它的反方向才值钱——题目说「P 在圆内」，等于免费送你一个不等式 OP < r。
拖动 d 和 r，自己把三种关系各触发一次。注意临界位置 d = r：点恰好落在圆上——很多考题故意把答案设在这个临界点上，比如「至少多少距离才安全」的边界值。
下一节会看到，直线与圆的位置关系是同一个故事的直线版：比大小的对象从「点距离」换成「圆心到直线的距离」，相切就是临界状态 d = r。
现实里能做什么
台风预警圈
气象台发布台风预警，画的其实是一个圆：台风中心为圆心、风力半径为 r。城市到台风中心的距离 d，与 r 比大小——d < r 就在圈内要撤离，d 略大于 r 就是「外围影响」。手机信号覆盖、烟花燃放安全半径、雷达探测圈，全是「比大小定位置」这一件事。
知识要点
- d < r ⟺ 点在圆内；d = r ⟺ 点在圆上；d > r ⟺ 点在圆外
- 位置关系 ⟺ 不等式（可互相翻译）
- 圆内（含圆上）的点到圆心距离 ≤ r；到圆上/内一点最短距离 = d 与 r 的差
典型例题（点击展开题解）
例 1台风中心以 20 km/h 正对某城市移动，以台风中心为圆心、300 km …
台风中心以 20 km/h 正对某城市移动，以台风中心为圆心、300 km 为半径的圆形区域受影响。城市当前距台风中心 260 km。城市还要受影响多久？
- 第一步先比大小：城市距台风中心 260 km，影响半径 300 km。260 < 300，d < r——城市此刻已经在圆内，即已经在受影响！
- 所以不是「何时开始受影响」，而是「何时结束」。台风正对城市移动，中心穿过城市上方后继续远离，直到中心离城市 300 km 时影响结束。
- 中心走过的总路程 = 当前距离 + 影响半径：(260 + 300) ÷ 20 = 28 (h)
- 对比变式：若初始相距 400 km（400 > 300 在圆外），则 5 h 后开始受影响，影响持续 15 h。两种情况都卡在 d = r 的临界点上。
本例初始已在圆内（260 < 300），全程受影响共 28 h。变式（初始 400 km）:5 h 后开始受影响，持续 15 h。核心：d 与 r 比大小，临界点在 d = r。