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等可能事件与概率公式 P(A) = m/n

九年级上册 · 人教版 · 第二十五章 · 知识点 03 / 7

讲解

抛一枚均匀硬币，结果只有两种：正面、反面，而且两种机会均等——这就是「等可能试验」。口袋里 3 个红球 2 个白球搅匀后摸一个，摸到任何一个球的机会都相同（球和球等可能），但「摸到红球」这个事件占了 3 种结果，「摸到白球」只占 2 种。事件包含的结果个数不同，概率就不同。

拖动两个滑块改变口袋里的球。每拖一次先自己估：P(红) 是多少？然后看概率条对不对。注意口袋是不透明的——摸到每一个球的机会相同，所以「结果总数」按球数 n 算，而不是按颜色数 2 算。P(红) = 红球数 ÷ 总球数，这就是等可能事件的概率公式 P(A) = m/n。

公式的两个前提必须同时满足。第一，结果有限：摸球、掷骰子都数得完，可以；「明天降雨量是多少毫米」有无穷多取值，不能直接套。第二，等可能：掷一枚均匀骰子，六个点数等可能；如果骰子被动过手脚，就不能说「掷出 6 点的概率是 1/6」——教材题目里说「均匀」「随机」「任意」就是在保证等可能。

  1. 第一步：确定试验的所有结果（列出或数出 n 个，要求不重不漏）
  2. 第二步：数出事件 A 包含的结果个数 m
  3. 第三步：P(A) = m/n（结果约分成最简，也可写小数或百分数）
  4. 验算小技巧：所有互不重叠事件的概率之和应等于 1，如 P(红) + P(白) = 1

现实里能做什么

抽签不分先后：为什么先抽后抽公平

班里 5 张演出票混在 5 张纸签里让大家抽，抽过的不再放回。有人抢着先抽，有人嫌后抽吃亏——其实谁都不吃亏：第一个抽中签的概率是 1/5；第二个人「中签」= 第一个人没中（4/5）且自己抽中（1/4）→ 4/5 × 1/4 = 1/5。依次算下去，每人都是 1/5。抽签模型里「先抽后抽概率相同」，这正是 m/n 公式一层层乘出来的结论。

知识要点

  • 两个前提：结果有限（能数得完）+ 每个结果等可能（机会均等）
  • P(A) = m/n：数清 n（结果总数）和 m（A 包含的结果数）
  • 求概率三步：列结果 → 数 m 和 n → 作比化简
  • 「等可能」要审题：口袋里红球 3 个白球 1 个，「摸到红球」和「摸到白球」不等可能

典型例题（点击展开题解）

例 1掷一枚均匀骰子，求：① 掷出偶数点的概率；② 掷出点数不超过 4 的概率；③…
掷一枚均匀骰子，求：① 掷出偶数点的概率；② 掷出点数不超过 4 的概率；③ 掷出点数大于 2 且小于 6 的概率。
  1. 掷一枚均匀骰子共有 6 种等可能结果：1、2、3、4、5、6。
    n = 6
  2. ① 偶数点有 2、4、6，共 3 个：
    P(偶) = 3/6 = 1/2
  3. ② 不超过 4 的点数有 1、2、3、4，共 4 个：
    P(≤4) = 4/6 = 2/3
  4. ③ 大于 2 且小于 6 的点数有 3、4、5，共 3 个：
    P(2<x<6) = 3/6 = 1/2
① 1/2　② 2/3　③ 1/2。套路固定：数 n、数 m、作比。
例 2口袋中装有 2 个红球和 1 个白球（除颜色外完全相同），搅匀后任意摸出 1…
口袋中装有 2 个红球和 1 个白球（除颜色外完全相同），搅匀后任意摸出 1 个球。求摸出红球与摸出白球的概率，并说明「摸出红球」与「摸出白球」是否等可能。
  1. 共有 3 个球，摸到每个球的机会相同，结果总数 n = 3。
  2. 红球 2 个：
    P(红) = 2/3
  3. 白球 1 个：
    P(白) = 1/3
  4. P(红) ≠ P(白)，所以这两个事件不等可能——「只有两种颜色」不等于「两种颜色等可能」。等可能看的是球（基本结果），不是颜色（事件）。
    2/3 ≠ 1/3
P(红) = 2/3，P(白) = 1/3，不等可能。等可能的对象是每个球，不是每种颜色。
例 3一个转盘被等分成 8 个扇形，其中 3 个涂红色、2 个涂黄色、3 个涂蓝色…
一个转盘被等分成 8 个扇形，其中 3 个涂红色、2 个涂黄色、3 个涂蓝色。转动转盘，求指针停在红色区域、黄色区域、非蓝色区域的概率。
  1. 转盘等分 8 份，指针停在每一份等可能，n = 8。
  2. 红色占 3 份：
    P(红) = 3/8
  3. 黄色占 2 份：
    P(黄) = 2/8 = 1/4
  4. 非蓝色 = 红 + 黄，占 3 + 2 = 5 份（对立事件也行：1 − 3/8 = 5/8）：
    P(非蓝) = 5/8
P(红) = 3/8，P(黄) = 1/4，P(非蓝) = 5/8。等分转盘就是「数格子」的圆形版。

这个知识点出现在哪些题型里

02 单步等可能试验：数 n、数 m、作比 通常是起点 确认等可能前提 → P(A) = m/n 三步走 03 掷骰子单步概率：「且 / 或」条件的拆解 通常是起点 n = 6 等可能，把文字条件翻译成点数集合 04 列表法：两枚骰子的点数和 通常是起点 确认两步各自等可能，总结果 36 个 05 树状图：不放回摸球求同色 通常是起点 确认每一步内部等可能（虽然两步之间不等可能） 06 游戏公平性：双方概率相等才公平 通常是起点 各自算出双方获胜概率 08 反推数量：由频率（概率）求球数 列 P = m/n 方程反解未知球数 10 压轴：概率含参 + 一元二次方程 通常是起点 用 m/n 框架搭起含参概率式

前置知识

概率的意义与取值范围

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