压轴：概率含参 + 一元二次方程

综合型　题型 10 / 10 　调用 2 个知识点

什么时候该想到这类题：概率与方程的交叉题：先用树状图列出含参数 m 的概率表达式，令其等于题给概率，整理成一元二次方程求解，最后检验解的实际意义（球数为正整数）。

题面信号

看到这些字眼，先把这类题从脑子里调出来——认题比解题快，才能不慌。

含有 m 个概率为求 m 颜色相同不放回

从题目倒着看，它其实只是几个基础动作按顺序拼起来。认清这条链，下次遇到同类题就知道从哪一环切入。

第 1 步 · 从这开始等可能事件与概率公式 P(A) = m/n 用 m/n 框架搭起含参概率式

→

第 2 步树状图法：放回与不放回不放回两步的末端概率相乘，得到含 m 的分子分母

起点是「等可能事件与概率公式 P(A) = m/n」——拿到同类题，第一步就去那里想。

完整解答口袋中装有 m 个红球和 3 个白球（除颜色外相同），搅匀后不放回地摸出 2 个…

口袋中装有 m 个红球和 3 个白球（除颜色外相同），搅匀后不放回地摸出 2 个球。若摸出的两球颜色相同的概率为 1/2，求 m 的值。

口袋 m 红 3 白，不放回摸 2 个，P(同色) = 1/2。列式：
P(同色) = [m(m−1) + 3×2] / [(m+3)(m+2)]
令其等于 1/2：
(m² − m + 6)/(m² + 5m + 6) = 1/2
去分母整理：
2m² − 2m + 12 = m² + 5m + 6 → m² − 7m + 6 = 0
解得 m = 6 或 m = 1。
(m−1)(m−6) = 0
检验：m = 1（1 红 3 白）时 P(同色) = 6/12 = 1/2 ✓；m = 6（6 红 3 白）时 P(同色) = 36/72 = 1/2 ✓。两解均保留。
m = 1 或 m = 6

流程：树状图列含参概率 → 方程 → 一元二次 → 检验正整数解。本题 m = 1 或 6。

易错点　解出根不检验实际意义（m 必须 ≥ 1 才有「摸出红球」的意义；m = 0 时两红分支消失，表达式仍成立但题目语境通常排除）；去分母时漏乘常数项导致整理出错。