y = ax² 的图像与性质
讲解
从最简单的 y = x² 开始。很多人背下了“抛物线”三个字，却没亲手画过它。我们用描点法，一步一步看这条曲线是怎么“长”出来的——点下面的“下一步”按钮，跟着走：
y = x² 只是 a = 1 的特例。一般式 y = ax² 里，a 到底管什么？动手拖一拖下面的 a 滑块，特别注意两件事：a 变成负数时发生了什么？|a| 变大时图像变胖还是变瘦？
规律：a > 0 开口向上，a < 0 开口向下（a 的符号管方向）；|a| 越大开口越窄（|a| 的大小管胖瘦）。原因不难理解：a 越大，x 同样增大 1 个单位，y 就涨得越猛，图像自然“收”得越紧。开口向上时有最低点，开口向下时有最高点——最值永远在顶点处。
现实里能做什么
从卫星锅到刹车距离
卫星接收天线、汽车前照灯的反光碗、太阳能槽式聚光器，截面都是抛物线——因为它们能把平行光精确聚到一点。工程上算这些曲面的形状，用的就是 y = ax² 这类最基础的式子。
知识要点
- 开口方向：a > 0 向上，a < 0 向下
- 开口宽窄：|a| 越大开口越窄，|a| 越小开口越宽
- 顶点 (0, 0)，对称轴是 y 轴
- a > 0 时图像有最低点（最小值 0）；a < 0 时有最高点（最大值 0）
典型例题（点击展开题解）
例 1说出抛物线 y = -2x² 的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及函数的最值。
说出抛物线 y = -2x² 的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及函数的最值。
- 对照 y = ax²，这里 a = -2。
- a = -2 < 0，开口向下。
- 顶点是原点 (0, 0)，对称轴是 y 轴（直线 x = 0）。
- 开口向下，图像有最高点。当 x = 0 时 y 取得最大值 0，没有最小值。
开口向下；顶点 (0, 0)；对称轴为 y 轴；最大值 0（x = 0 时取得）。注意 |a| = 2 > 1，这条抛物线比 y = x² 更"瘦"。
例 2抛物线 y = x² 与 y = 3x²，哪条开口更窄？请说明理由。
抛物线 y = x² 与 y = 3x²，哪条开口更窄？请说明理由。
- 规律：|a| 越大，开口越窄。
- 取同一个 x 验证：当 x = 1 时，y = x² 得 1，y = 3x² 得 3。
- x = 1 处 y = 3x² 的点更高，说明两条曲线离开对称轴后"爬升"更快，图像更收拢。
y = 3x² 开口更窄。因为 |3| > |1|，|a| 越大图像越瘦。可以在上面的演示里把 a 拖到 1 和 3 对比观察。