二次函数的定义
讲解
我们已经学过一次函数 y = kx + b，它的图像是一条直线。那么当自变量的次数变成 2，图像会变成什么样？先看看最简单的 y = x² 长什么样：
这条曲线叫抛物线。它和直线最大的不同：变化不是“匀速”的——x 离 0 越远，y 涨得越快，所以两侧越来越陡。x = 1 时 y = 1，x = 2 时 y = 4，x = 3 时 y = 9，翻倍再翻倍。正式定义：形如 y = ax² + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项。
判断一个函数是不是二次函数，有两个条件“缺一不可”：① 化到最简后最高次数恰好是 2；② 二次项系数 a ≠ 0。比如 y = (x + 1)(x - 2) 看起来有三次的嫌疑，展开后是 x² - x - 2，其实是二次函数；而 y = 2x² + 1/x 带着分式，直接出局。
现实里能做什么
平方关系到处都是
正方形面积随边长变化、自由落体下落的距离随时间的平方增长、圆形光盘的面积随直径变化——只要两个量的关系是“平方”，背后就是二次函数。认得出它，你才知道该用哪套工具去算。
知识要点
- 判断二次函数的标准：化到最简后最高次数为 2，且二次项系数 a ≠ 0，两个条件缺一不可
- y = ax² + bx + c 中，a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项
- 自变量 x 的取值范围是全体实数
典型例题（点击展开题解）
例 1下列函数中，是二次函数的有哪些？① y = 3x² ② y = x³ + x…
下列函数中，是二次函数的有哪些？① y = 3x² ② y = x³ + x² + 1 ③ y = (x + 1)(x - 2) ④ y = 2x² + 1/x
- 判断标准：化到最简后，最高次数为 2，且二次项系数不为 0。两个条件缺一不可。
- ① y = 3x²：最高次数 2，a = 3 ≠ 0，是二次函数。
- ② y = x³ + x² + 1：最高次数是 3，不是二次函数。
- ③ 先展开：y = (x + 1)(x - 2) = x² - x - 2，最高次数 2，a = 1 ≠ 0，是二次函数。注意：没展开之前不要急着下结论。
- ④ y = 2x² + 1/x：含分式 1/x，不是多项式函数，不是二次函数。
① 和 ③ 是二次函数。判断时一定要先化简（如③），再同时检查"最高次数为 2"和"a ≠ 0"两个条件。
例 2已知函数 y = (m - 1)·x^(m² + 1) 是二次函数，求 m …
已知函数 y = (m - 1)·x^(m² + 1) 是二次函数，求 m 的值。
- 二次函数要求自变量的指数恰好是 2，所以：m² + 1 = 2
- 解得 m = ±1。
- 还要保证二次项系数不为 0：m - 1 ≠ 0，即 m ≠ 1
- 两个条件取交集，舍去 m = 1。
m = -1。这类题是"定义"考法的经典陷阱：指数条件与系数条件必须同时满足，漏掉 a ≠ 0 就会错。