y = ax² + k：上下平移
讲解
在 y = ax² 后面加一个常数 k，图像会怎么变？很多人以为“加 3”会让图像变形，其实它只是整体搬家。看动画：注意观察原来的每个点是怎么走的——
为什么会这样？因为函数值整体加了 3：原来 y = 2x²，现在 y = 2x² + 3。图像上任何一个点，纵坐标都恰好多 3——这就是“整体向上平移 3 个单位”。反过来，k < 0 就是整体下移。平移只动位置，不动形状：开口方向、宽窄全都没变。
结论：y = ax² + k 的顶点是 (0, k)，对称轴仍是 y 轴。k > 0 上移，k < 0 下移。a > 0 时最小值也从 0 变成了 k。
现实里能做什么
换个基准，公式就变
同一条桥，把地面当 0 还是把拱顶当 0，写出来的式子会差一个常数——图像却一模一样。工程测量、经济模型里选对基准能省掉大量计算，这背后就是上下平移。
知识要点
- y = ax² + k 的顶点是 (0, k)，对称轴仍是 y 轴
- k > 0 上移，k < 0 下移，平移不改变开口方向和形状
- 最值随之改变：a > 0 时最小值变为 k
典型例题（点击展开题解）
例 1把抛物线 y = 2x² 向上平移 3 个单位，得到的函数解析式是什么？顶点…
把抛物线 y = 2x² 向上平移 3 个单位，得到的函数解析式是什么？顶点坐标是多少？
- 上下平移只改变常数项：向上移 3 个单位，就在函数值上整体加 3。
- 得到解析式：y = 2x² + 3
- 顶点从 (0, 0) 移到 (0, 3)，对称轴仍是 y 轴。
y = 2x² + 3，顶点 (0, 3)。口诀：上加下减（加在整体后面）。
例 2抛物线 y = -x² + 4 的顶点坐标是什么？它与 y = -x² 之间…
抛物线 y = -x² + 4 的顶点坐标是什么？它与 y = -x² 之间是什么关系？
- 对照 y = ax² + k，这里 a = -1，k = 4。
- 顶点是 (0, k)，即 (0, 4)；开口向下。
- 它由 y = -x² 向上平移 4 个单位得到，形状、开口方向完全相同。
顶点 (0, 4)；由 y = -x² 向上平移 4 个单位得到。k > 0 上移、k < 0 下移，只动位置不动形状。