增减性与最值
讲解
抛物线的“坡度”左右不对称地单调：以对称轴为界，左边一段、右边一段，方向相反。a > 0（开口向上）时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大；a < 0 正好相反。在下面的实验里盯住顶点左右两侧的曲线走向，拖动 a 和 h 感受一下：
整个实数范围上，最值就在顶点处：a > 0 有最小值 k，a < 0 有最大值 k。但考试常考“限定区间”，比如“求 y = x² - 2x - 3 在 0 ≤ x ≤ 3 上的最值”——这时顶点不一定落在区间里！正确的动作顺序：先看对称轴 x = 1 在不在区间 [0, 3] 内（在，最小值取顶点 -4）；再比较两端点（x = 0 得 -3，x = 3 得 0，最大值 0）。最值不一定在端点，也不一定在顶点——先检查顶点在不在区间内，再比端点，两步走完才稳。（完整解题过程见下面的例题）
最值问题最经典的现实版本是围栏：手里有 L 米围栏，靠着一面墙围一个矩形，怎么围面积最大？设宽为 x，靠墙那边不用围栏，长只能是 L - 2x，面积 A = x(L - 2x)——又是一个开口向下的二次函数。拖动滑块，自己找最大面积出现的位置。
结论：宽 = L/4、长 = L/2 时面积最大，最大值 L²/8。有意思的是，这时长恰好是宽的两倍——“长宽比 2:1”不是背出来的，是算出来的。注意自变量范围是 0 < x < L/2，顶点正好落在区间内，所以最值取在顶点；如果墙有限长、x 被限制在某个区间，就得回到上一段说的“比较端点”。
现实里能做什么
涨到哪儿该停
定价、投广告、加班赶工，都存在“再投入一点还划不划算”的问题。看的就是函数在某个区间是升还是降——这就是增减性在实际决策里的样子。
知识要点
- 增减性以对称轴 x = h 为分界线
- a > 0：左减右增；a < 0：左增右减
- 限定区间时：先看顶点横坐标是否在区间内，再比较端点处的函数值
典型例题（点击展开题解）
例 1求函数 y = x² - 2x - 3 在 0 ≤ x ≤ 3 上的最大值与…
求函数 y = x² - 2x - 3 在 0 ≤ x ≤ 3 上的最大值与最小值。
- 先配方找对称轴：y = (x - 1)² - 4，对称轴 x = 1
- 检查：x = 1 在区间 [0, 3] 内，所以最小值就在顶点处取得：y最小 = -4。
- 最大值比较两个端点：x = 0 时 y = -3；x = 3 时 y = 9 - 6 - 3 = 0。
- 0 > -3，所以最大值为 0，在 x = 3 处取得。
最小值 -4（x = 1），最大值 0（x = 3）。关键动作：先看对称轴在不在区间内，再比端点——直接代端点就丢分。
例 2求函数 y = -x² + 2x 在 x ≥ 2 时的最大值。
求函数 y = -x² + 2x 在 x ≥ 2 时的最大值。
- 配方：y = -(x² - 2x) = -(x - 1)² + 1
- 对称轴 x = 1，开口向下，顶点 (1, 1)。
- 注意：顶点横坐标 x = 1 不在范围 x ≥ 2 内！
- a < 0 时，对称轴右侧函数递减。所以在 x ≥ 2 上，y 随 x 增大而减小，最大值在左端点 x = 2 处取得：
- x = 2 时，y = -4 + 4 = 0。
最大值为 0（x = 2 时取得），而不是顶点处的 1。顶点不在规定范围内时，最值必然在端点上。
例 3用 40 m 长的围栏靠着一面墙围一个矩形菜园，怎样围面积最大？最大面积是多…
用 40 m 长的围栏靠着一面墙围一个矩形菜园，怎样围面积最大？最大面积是多少？
- 设矩形的宽为 x 米。靠墙的那条边不用围栏，所以围栏只围三条边，长为 40 - 2x 米。
- 写面积函数：A = x(40 - 2x) = -2x² + 40x
- 配方：A = -2(x² - 20x) = -2(x - 10)² + 200
- a = -2 < 0，开口向下，x = 10 时取得最大面积 200。
- 检验取值范围：x > 0 且 40 - 2x > 0，即 0 < x < 20。x = 10 在区间内，顶点有效。
- 此时宽 10 m、长 20 m，长恰好是宽的两倍。
宽 10 m、长 20 m 时面积最大，最大面积 200 m²。围栏类问题的通用套路：设一边为 x，用总长表示另一边，写出二次函数再求顶点。