坐标系中的旋转：坐标规律
讲解
把旋转放进坐标系，它就有了「坐标算法」——不用画图，直接算。拖动下面的滑块，先把角度调到 90°，看看 P 和 P′ 的坐标之间有什么关系；再改 x、y，规律是不是还在？
为什么 (x, y) 转 90° 会变成 (−y, x)？直观地想：原来的横坐标 x 表示 P 离 y 轴多远，转了 90° 后，这个「远近」变成了新的纵坐标；而原来的纵坐标 y 方向反了过来，带着负号跑到横坐标上。像 (3, 2) 转完就是 (−2, 3)——数字没变，位置对调还翻了个符号。
- 逆时针 90°：(x, y) → (−y, x)，横纵对调、新横变号
- 逆时针 180°：(x, y) → (−x, −y)，两个都变号（中心对称）
- 逆时针 270°：(x, y) → (y, −x)，等于顺时针 90°
- 转 90° 再转 180° = 转了 270°，规律可以叠加使用
考试里最常见的坑是方向：题目说「顺时针旋转 90°」，不少同学直接套 (−y, x) 就错了。正确做法是先换算——顺时针 90° 等于逆时针 270°，用 (y, −x)。把 270° 这条也记牢，两个方向就都不怕。
现实里能做什么
手机横屏的坐标变换
手机从竖屏转到横屏，屏幕上每个图标的坐标都要重新计算，用的就是 (x, y) → (−y, x) 这类旋转规律（加上一个平移）。你每次旋转手机，系统都在毫秒级完成一遍「坐标系旋转」的批量计算。
知识要点
- 逆时针 90°：(x, y) → (−y, x)
- 逆时针 180°：(x, y) → (−x, −y)，即关于原点的中心对称
- 逆时针 270° = 顺时针 90°：(x, y) → (y, −x)
- 方向先想清楚再代规律，别背反
典型例题（点击展开题解）
例 1点 P(2, 3) 绕原点逆时针旋转 90° 得到 P′，P′ 再绕原点逆时…
点 P(2, 3) 绕原点逆时针旋转 90° 得到 P′，P′ 再绕原点逆时针旋转 180° 得到 P″。求 P″ 的坐标。
- 第一步：逆时针 90°，规律 (x, y) → (−y, x)。P(2, 3) → P′(−3, 2)
- 第二步：逆时针 180°，规律 (x, y) → (−x, −y)。P′(−3, 2) → P″(3, −2)
- 换个角度验证：90° + 180° = 270°，直接用逆时针 270° 的规律 (x, y) → (y, −x)：P(2, 3) → (3, −2)。两次结果一致。P(2, 3) → P″(3, −2)
- 转 270° 也可以想成「转 360° 再退 90°」：终边和顺时针转 90° 相同。规律之间能互相推，不用全背。
P″(3, −2)。两次旋转可以合并成一次 270°，两条路互相验证。
例 2点 A(4, −1) 绕原点逆时针旋转 270° 后的坐标是多少？它再怎样旋…
点 A(4, −1) 绕原点逆时针旋转 270° 后的坐标是多少？它再怎样旋转可以回到原位？
- 逆时针 270° 用规律 (x, y) → (y, −x)。
- 代入：A(4, −1) → (−1, −4)。A(4, −1) → A′(−1, −4)
- 注意陷阱：题目虽是「逆时针 270°」，但效果等同「顺时针 90°」。如果你习惯用顺时针，就把 (y, −x) 当成顺时针 90° 的规律来记。
- 回原位：转 360°（一圈）回到原地；或者反向转 270°，即顺时针 270° = 逆时针 90°，把 (−1, −4) 用 (−y, x) 变回去 → (4, −1)，验证无误。
旋转后为 A′(−1, −4)；再逆时针转 90°（或顺时针转 270°、或转一圈）就回到原位。