直接开平方法
讲解
最简单的方程是 x² = 9。什么数的平方等于 9？3 可以，−3 也可以。所以这个方程有两个解：x = 3 或 x = −3，写成 x = ±3。记住这个「±」——它是这类题的灵魂，漏掉负根是失分第一名。
看上面的图：抛物线 y = x² − 9 与 x 轴交在两个点，横坐标正好是 3 和 −3。方程的两个根，就是图像与 x 轴两个交点的横坐标。所以「两个根」不是硬凑出来的，图上本来就有两个交点。你把 c 拖到 0 以上，交点就消失——那就是「没有实数解」的样子。
如果方程长成 (x + 2)² = 5 呢？别急着展开，把括号里当成一个整体：x + 2 的平方等于 5，那 x + 2 就等于 ±√5。于是 x = −2 ± √5。展开反而绕远了。
这个方法之所以重要，是因为它是另外两种解法的最后一步：配方法配到最后要开平方，公式法本质上是把开平方套在一般式上。所以看着简单，其实是地基。
现实里能做什么
正方形边长、圆的半径，都靠它反推
知道一块正方形地的面积，问边长；知道一个圆形花坛的面积，问半径——列出来都是 x² = 常数，一步开方就完事。工程上反算尺寸时，这是最常用的一招。
知识要点
- x² = p（p ≥ 0）→ x = ±√p，一定要写两个解
- p < 0 时没有实数解，因为任何数的平方都不为负
- (x + m)² = p → x + m = ±√p，把括号里当成一个整体
- 适用前提：方程里没有一次项，或者已经配成了完全平方
典型例题（点击展开题解）
例 1解方程：(1) 3x² − 27 = 0；(2) 2(x − 1)² = 8…
解方程：(1) 3x² − 27 = 0；(2) 2(x − 1)² = 8。
- 第 (1) 题，先孤立 x²：3x² = 27 → x² = 9
- 两边直接开平方，别忘负根：x = ±3，即 x₁ = 3，x₂ = −3
- 第 (2) 题，先两边除以 2：(x − 1)² = 4
- 把 (x − 1) 当成整体开平方：x − 1 = ±2
- 分别解出：x₁ = 3，x₂ = −1
(1) x₁ = 3，x₂ = −3；(2) x₁ = 3，x₂ = −1。关键是开平方时一定要带 ±。
例 2解方程：(x + 3)² − 5 = 0。
解方程：(x + 3)² − 5 = 0。
- 移项：(x + 3)² = 5
- 把 x + 3 看成整体，两边开平方（5 不是完全平方数，保留根号）：x + 3 = ±√5
- 移项得解：x = −3 ± √5
x₁ = −3 + √5，x₂ = −3 − √5。不要展开括号，那样反而绕远。