配方法：把方程补成一个正方形
讲解
先看一幅图。x² 是一个正方形的面积；bx 可以看成两个 b/2 乘 x 的长条，贴在正方形的两条边上。现在这个图形缺了一个角，把角补上，它才成为一个完整的大正方形——边长是 x + b/2。
拖动上面的 b 滑块，看两个橙色长条怎么变宽、绿色小方块怎么跟着变大。重点看一件事：绿色小方块的边长永远等于长条的宽度 b/2，面积是 (b/2)²。这就是「配方要加上一次项系数一半的平方」的全部理由——不是背口诀，是补一个缺角。
把这个几何动作翻译成代数，就是配方法的四步。以 x² + 6x − 7 = 0 为例：
- 二次项系数已经是 1，不用处理
- 常数项移到右边：x² + 6x = 7
- 两边同时加上 (6/2)² = 9：x² + 6x + 9 = 16
- 左边写成完全平方：(x + 3)² = 16
- 开平方：x + 3 = ±4，所以 x = 1 或 x = −7
一个必须小心的细节：第 3 步加 9，是「两边都加」。很多人在左边加完就忘了右边，方程立刻就不成立。可以这样记：你在左边补了个角，右边也得补同样大的一块，天平才不歪。
如果二次项系数不是 1，比如 2x² + 8x − 10 = 0？先整条方程除以 2 变成 x² + 4x − 5 = 0，再配方。别在 2x² 上直接配，那样每一步都带着分数，又慢又容易错。
现实里能做什么
把「不知道」变成「开个方就知道」
工程上很多反算都靠配方：已知一块地的面积和长宽关系，求具体尺寸。配方法把杂乱的式子整理成一个平方，等于把问题从「猜数字」变成「开平方」——这是代数最漂亮的一次变形。
知识要点
- 配方四步：二次项系数化 1 → 常数项移到右边 → 两边加上 (b/2)² → 左边写成完全平方
- 核心口诀：加上「一次项系数一半的平方」
- 加了就必须两边都加，否则等式不成立
- 二次项系数不是 1 时，先整条方程除以它，别硬配
典型例题（点击展开题解）
例 1用配方法解方程：x² − 4x − 5 = 0。
用配方法解方程：x² − 4x − 5 = 0。
- 二次项系数为 1，直接把常数项移到右边：x² − 4x = 5
- 一次项系数是 −4，它的一半是 −2，平方得 4。两边同时加 4：x² − 4x + 4 = 9
- 左边写成完全平方：(x − 2)² = 9
- 开平方：x − 2 = ±3
- 解得：x₁ = 5，x₂ = −1
x₁ = 5，x₂ = −1。加上的是「一次项系数一半的平方」，两边都要加。
例 2用配方法解方程：2x² + 6x − 8 = 0。
用配方法解方程：2x² + 6x − 8 = 0。
- 二次项系数不是 1，先整条方程除以 2：x² + 3x − 4 = 0
- 常数项移到右边：x² + 3x = 4
- 一次项系数 3 的一半是 3/2，平方是 9/4，两边同时加上：x² + 3x + 9/4 = 4 + 9/4 = 25/4
- 左边成为完全平方：(x + 3/2)² = 25/4
- 开平方：x + 3/2 = ±5/2
- 解得：x₁ = 1，x₂ = −4
x₁ = 1，x₂ = −4。系数出现分数不要慌，照公式走一样能配出来。