一元二次方程的定义与一般形式
讲解
你已经会解一元一次方程了：一个未知数，最高次是 1。现在把最高次从 1 提到 2，就叫一元二次方程。名字里的三个字是三个条件：一元 = 只有一个未知数，二次 = 整理后最高次是 2，方程 = 得有等号。
把任何一个一元二次方程收拾干净，最后都能变成同一个样子：ax² + bx + c = 0。这个「标准长相」很重要，因为后面三种解法（配方、公式、因式分解）全部都是从这个形式出发的。
- 原方程：(x + 1)(x − 2) = 3
- 展开左边：x² − x − 2 = 3
- 移项，让右边变成 0：x² − x − 5 = 0
- 对照 ax² + bx + c = 0 读出：a = 1，b = −1，c = −5
注意这个条件：a ≠ 0。如果 a = 0，二次项就整个消失了，方程退化成一元一次方程——它不再是我们这一章要研究的东西。所以「二次项系数不为 0」不是一句废话，而是这个家族的门槛。反过来，b 和 c 可以是 0，那没关系。
判断一个式子是不是一元二次方程，就走这三步：先看是不是整式方程（未知数不能在分母里、不能在根号里）；再整理成一般形式；最后看整理后最高次是不是 2、二次项系数是不是不为 0。三步缺一步，答案就可能反。
现实里能做什么
「二次」是怎么混进生活里的
面积、体积、加速运动、复利——只要两个量相乘，就冒出平方。一块正方形地边长加 2 米后面积翻倍，这个「求边长」的问题列出来就是一元二次方程。认得出它，你才知道该往哪套解法上靠。
知识要点
- 一般形式：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0
- a 叫二次项系数，b 叫一次项系数，c 叫常数项，写的时候都要带上符号
- 判断之前必须先整理成一般形式——不整理就判断，十有八九会错
- 分母含未知数的、整理后二次项消失的，都不是一元二次方程
典型例题（点击展开题解）
例 1把方程 (2x − 1)(x + 3) = x² + 5 化成一般形式，并写…
把方程 (2x − 1)(x + 3) = x² + 5 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。
- 展开左边：2x² + 6x − x − 3 = x² + 5
- 合并左边同类项：2x² + 5x − 3 = x² + 5
- 移项，让右边为 0（左边减右边）：2x² − x² + 5x − 3 − 5 = 0
- 整理得一般形式：x² + 5x − 8 = 0
- 对照 ax² + bx + c = 0：a = 1，b = 5，c = −8。注意常数项带负号。
一般形式为 x² + 5x − 8 = 0，二次项系数 1，一次项系数 5，常数项 −8。