待定系数法求解析式
讲解
前面都是从式子到图像，现在反过来：已知图像经过几个点，求式子。方法叫待定系数法——先“设”一个带未知系数的解析式，再把点代进去解方程。核心技巧不在解方程，而在“设哪一种式”：已知任意三点，设一般式 y = ax² + bx + c；已知顶点（或对称轴、最值），设顶点式 y = a(x - h)² + k；已知与 x 轴的两个交点，设交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)。
看上面这道例子的条件组合：顶点 (1, 2) + 过点 (0, 3)。条件里有顶点，就条件反射地设顶点式 y = a(x - 1)² + 2，代 (0, 3) 解出 a = 1，完事——只解了一个未知数。如果傻乎乎设一般式，三个未知数要解三元方程组。同样的题，设式选得对，计算量差好几倍。完整的两种典型题（“顶点+一点”和“三点点”）见下面的例题。
现实里能做什么
三个点标定一条曲线
实测拱桥测三个点、投篮轨迹采样三个位置，就能反推出完整曲线，进而预测没测过的地方。这是工程标定和数据分析里最常用的一招。
知识要点
- 三点 → 一般式；顶点/对称轴/最值 → 顶点式；两交点 → 交点式
- 把已知点代入，得到关于待定系数的方程（组），解出即可
- 设式形式选得对，解题效率差数倍
典型例题（点击展开题解）
例 1已知抛物线经过点 (-1, 0)、(1, 0) 和 (0, -1)，求它的解…
已知抛物线经过点 (-1, 0)、(1, 0) 和 (0, -1)，求它的解析式。
- 观察条件：给的两个点 (-1, 0)、(1, 0) 恰好都在 x 轴上，用交点式最省力：y = a(x + 1)(x - 1)
- 代入第三个点 (0, -1)：-1 = a × 1 × (-1)，得 a = 1
- 展开：y = (x + 1)(x - 1) = x² - 1
y = x² - 1。若用一般式设 a + b + c、a - b + c 也能解，但交点式一步到位——设式形式决定计算量。
例 2已知抛物线的顶点是 (1, 2)，且经过点 (0, 3)，求它的解析式。
已知抛物线的顶点是 (1, 2)，且经过点 (0, 3)，求它的解析式。
- 已知顶点，设顶点式：y = a(x - 1)² + 2
- 代入点 (0, 3)：3 = a(0 - 1)² + 2，即 a + 2 = 3
- 解得 a = 1，所以：y = (x - 1)² + 2
y = (x - 1)² + 2。见到"顶点 + 一点"的条件组合，条件反射地设顶点式，只需解一个未知数。