根与系数的关系（韦达定理）
讲解
如果方程真的有两个根，它们不是随便来的——它们的和、它们的积，被 a、b、c 死死锁住了。这就是韦达定理：两根之和等于 −b/a，两根之积等于 c/a。注意第一个是负号，这是最容易记反的地方。
在上面这个实验台里随便拖 a、b、c，观察最后一行：不管抛物线怎么动、根怎么变，两根之和永远等于 −b/a，乘积永远等于 c/a。这不是巧合，是从求根公式里直接看出来的——把 x = (−b ± √Δ)/2a 的两个值加起来，根号部分正好抵消；乘起来则用平方差公式消掉根号。
它的价值在于「不解方程也能算」。比如题目问：已知 x₁、x₂ 是 x² − 3x − 5 = 0 的两根，求 x₁² + x₂²。硬解要用求根公式算出两个带根号的数再平方，很痛苦；用韦达：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = −5，于是 x₁² + x₂² = 3² − 2(−5) = 19。三行结束。
还有一个高频用法：已知一根求另一根。因为两根之和已知，减去已知的那根就得到另一根；或者用两根之积反推。这比重新解一遍方程快得多，也是命题人最爱设的陷阱——很多人没注意到可以这样绕过去。
使用前有个前提别忘：方程必须有实数根，也就是 Δ ≥ 0。如果 Δ < 0 还硬套韦达，等于在讨论两个不存在的数的和。题目问「已知两根为…」时，一般已经保证有根；但如果是含参数的题，就必须自己先验证 Δ ≥ 0。
现实里能做什么
只知道总量时，怎么反推个体
现实中经常只能测到「总和」和「乘积」这类汇总数据——两批货的总重量、总成本。韦达定理正是从汇总反推个体的数学工具：不用知道具体是哪两个数，也能算出它们的平方和、倒数之和。
知识要点
- x₁ + x₂ = −b/a，注意是负号
- x₁ · x₂ = c/a
- 常用变形：x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂；1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂)
- 用之前必须先确认方程有实数根（Δ ≥ 0）
典型例题（点击展开题解）
例 1已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 3x − 5 = 0 的两个根，求 (1…
已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 3x − 5 = 0 的两个根，求 (1) x₁ + x₂；(2) x₁x₂；(3) x₁² + x₂²。
- 读出系数：a = 1，b = −3，c = −5。
- 由韦达定理：x₁ + x₂ = −b/a = 3
- 两根之积：x₁x₂ = c/a = −5
- 求平方和，用完全平方变形：x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
- 代入数值：= 3² − 2 × (−5) = 9 + 10 = 19
x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = −5，x₁² + x₂² = 19。全程不需要求出具体的根。
例 2已知方程 2x² + kx − 6 = 0 的一个根是 3，求 k 的值和另…
已知方程 2x² + kx − 6 = 0 的一个根是 3，求 k 的值和另一个根。
- 把 x = 3 代回方程（根一定满足方程）：2 × 9 + 3k − 6 = 0
- 整理：18 + 3k − 6 = 0 → 3k = −12 → k = −4
- 方程变为 2x² − 4x − 6 = 0，即 x² − 2x − 3 = 0。
- 用韦达定理求另一根：两根之积 = c/a = −3，已知一根为 3，所以另一根 = −3 ÷ 3 = −1。
k = −4，另一个根是 −1。也可以直接因式分解 (x − 3)(x + 1) = 0 验证。