销售利润问题
讲解
这类题的结构极其固定：单件利润和销量，一个是涨的一个是跌的，乘起来就是一个开口向下的二次式。求最大利润是上一章的二次函数问题；而给定「利润要达到多少」，就变成了一元二次方程。同一个式子，两种问法。
看上面这条利润曲线：它是一座山。如果题目问「利润最大是多少」，答案在山顶；如果题目问「利润要达到 3000 元」，答案是一条水平线与山交出的两个点——这就是为什么利润题经常有两个解：同样的利润，可以卖得便宜多卖点，也可以卖得贵少卖点。
两个解都合理吗？不一定。常见的限制是「为了尽快清库存，售价不能超过 45 元」或者「涨价幅度不超过 10 元」。题目给了这类条件，就必须把不合理的那根舍掉。这一步在考试里是踩分点，很多人算出两个数就交卷了。
最后一个坑：设的未知数是什么，答案就要答什么。如果你设的是「涨价 x 元」，算出 x = 10，而题目问「售价定为多少」，答案是 40 + 10 = 50 元，写 10 就错了。做完回头看一眼问句，这个习惯能救不少分。
现实里能做什么
定价这件事，算得出最优解
小店老板凭感觉定价，连锁品牌靠模型定价。同一个利润公式，前者只能试错，后者能直接算出「定多少钱、能赚多少」。这也是电商运营每天都在算的东西。
知识要点
- 总利润 =（售价 − 成本）× 销量
- 售价每变动 1 元，销量按固定件数变化——把这个关系写清楚是建模的关键
- 解出两个根是常态，要按「售价不能为负」「销量不能为负」等条件取舍
- 题目问「定价多少」时，记得把变动量加回原价
典型例题（点击展开题解）
例 1某商品进价 40 元，售价 60 元时每月卖出 300 件。市场调查表明：售…
某商品进价 40 元，售价 60 元时每月卖出 300 件。市场调查表明：售价每降低 1 元，每月多卖 20 件。若要使月利润达到 6120 元，售价应定为多少？
- 设售价降低 x 元（x > 0），则实际售价为 60 − x，单件利润为 20 − x，销量为 300 + 20x。
- 利润 = 单件利润 × 销量，列方程：(20 − x)(300 + 20x) = 6120
- 展开左边：6000 + 400x − 300x − 20x² = 6120
- 整理成一般形式：−20x² + 100x − 120 = 0 → x² − 5x + 6 = 0
- 因式分解：(x − 2)(x − 3) = 0
- 解得 x = 2 或 x = 3，都符合「降价且销量为正」。对应售价 58 元或 57 元。
售价定为 58 元或 57 元，月利润都是 6120 元。题目若要求「尽量让利顾客」，取 57 元。
例 2某商店销售一种商品，每件进价 20 元，售价 30 元时每周卖 200 件。…
某商店销售一种商品，每件进价 20 元，售价 30 元时每周卖 200 件。为扩大销售，商店决定降价，且每降价 0.5 元每周多卖 10 件。若每周利润为 2240 元，求降价多少元。
- 设降价 x 元（x 必须是 0.5 的整数倍，先不管，最后检验）。单件利润为 10 − x 元。
- 销量：每降 0.5 元多卖 10 件，即每降 1 元多卖 20 件，所以销量为 200 + 20x。
- 列利润方程：(10 − x)(200 + 20x) = 2240
- 展开：2000 + 200x − 200x − 20x² = 2240
- 整理：−20x² − 240 = 0
- 等等，一次项抵消了，得到 x² = −12，Δ < 0，无实数解。说明降价多少都达不到 2240 元——检查一下：原利润是 10 × 200 = 2000，降价后（10−x)(200+20x) = 2000 − 20x²，只会变小。
此题无解——因为原价下的利润 2000 元已经是最大值，降价只会减少利润，不可能达到 2240 元。这类「算不出解」的题不是算错了，而是提醒你：先判断原状态是否已经是最优。